Теорема вращения Эйлера

Теорема вращения Эйлера утверждает, что любое вращение трёхмерного пространства имеет ось.

Таким образом, вращение может быть описано тремя координатами: координаты (например, широта и долгота) оси вращения и угол поворота.

Для заданного единичного вектора n и угла φ обозначим R(n, φ) вращение в направлении вектора n против часовой стрелки на угол φ. Тогда:

  • R(0, n) — тождественное отображение для любого n
  • R(φ, n) = R(−φ, −n)
  • R(π + φ, n) = R(π − φ, −n)

Для любого вращения существует единственный угол φ, для которого 0 ≤ φ ≤ π, при этом:

  • n определяется однозначно, если 0 < φ < π
  • n любое, если φ = 0
  • n определяется однозначно с точностью до знака, если φ = π (то есть, вращения R(π, ±n) одинаковы).

Геометрия группы вращений

Представление Эйлера позволяет исследовать топологию группы Ли вращений трёхмерного пространства SO(3). Для этого рассмотрим шар с центром в начале координат с радиусом π.

Любое вращение на угол, меньший π, задаёт единственную точку внутри шара (направление задаёт направление оси вращения, а угол задаёт расстояние от начала координат). Вращение на угол π соответствует двум противоположным точкам на поверхности сферы.

Таким образом, шар с отождествлёнными противоположными точками сферы гомеоморфен группе вращений пространства SO(3).

См. также

  • SO(3)
 
Начальная страница  » 
А Б В Г Д Е Ж З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Ы Э Ю Я
A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Home