Сходимость в Lp

Сходи́мость в Lp в функциональном анализе, теории вероятностей и смежных дисциплинах - вид сходимости измеримых функций или случайных величин.

Определение

Пусть (X,\mathcal{F},\mu) - пространство с мерой. Тогда пространство L^p\equiv L^p(X,\mathcal{F},\mu) измеримых функций, таких что их p-я степень, где p \ge 1, интегрируема по Лебегу, является метрическим. Метрика в этом пространстве имеет вид:

d(f,g) = \|f - g\|_p \equiv \left(\, \int\limits_X |f(x)-g(x)|^p\, \mu(dx)\, \right)^{1/p}.

Пусть дана последовательность \{f_n\}_{n=1}^{\infty} \subset L^p. Тогда говорят, что эта последовательность сходится в Lp к функции f \in L^p, если она сходится в метрике, определённой выше, то есть

\lim\limits_{n \to \infty} \|f_n - f\|_p = 0.

Пишут: f_n \to^{\!\!\!\!\!\!\! L^p} f.

В терминах теории вероятностей, последовательность случайных величин \{X_n\}_{n=1}^{\infty}\subset L^p(\Omega,\mathcal{F},\mathbb{P}) сходится к X из того же пространства, если

\lim\limits_{n\to \infty}\mathbb{E}|X_n-X|^p = 0.

Пишут: X_n \to^{\!\!\!\!\!\!\! L^p} X.

Терминология

  • Сходимость в пространстве L1 называется сходимостью в среднем.
  • Cходимость в пространстве L2 называется сходимость в среднеквадратичном.

Свойства сходимости в Lp

  • Пространство Lp полно. Если \|f_n-f_m\|_p \to 0 при \min(n,m) \to \infty, то существует f \in L^p, такой что f_n \to^{\!\!\!\!\!\!\! L^p} f.
 
Начальная страница  » 
А Б В Г Д Е Ж З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Ы Э Ю Я
A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Home