Конформное отображение

Взаимно однозначное отображение области D на область D* (евклидова пространства или риманова многообразия) называется конформным (лат. conformis — подобный), если в окрестности любой точки D главная линейная часть этого преобразования есть ортогональное преобразование.

Содержание

Связанные определения

  • Если при конформном отображении сохраняется ориентация, то говорят о конформном отображении первого рода; если же она меняется на противоположную, то говорят о конформном отображении второго рода.
  • Две метрики g,\tilde g на гладком многообразии M называются конформноэквивалентными если существует гладкая функция \psi:M\to\R такая что \tilde g=e^\psi g. В этом случае тождественное отображение на M индуцирует конформное отображение (M,g)\to(M,\tilde g).

Свойства

  • Конформное отображение сохраняет форму бесконечно малых фигур;
  • Конформное отображение сохраняет углы между кривыми в точках их пересечения (свойство сохранения углов).
    • Это свойство можно также взять за определение конформного отображения.
  • Теорема Лиувилля: Всякое конформное отображение области евклидова пространства \R^n при n\ge 3 можно представить в виде конечного числа суперпозиций — изометрий и инверсий.
  • Кривизна Вейля сохраняется при конформном отображении, т.е. если \tilde g и g - конформноэквивалентные метрики, то
        \tilde W(X,Y)Z=W(X,Y)Z,
    где \tilde W и W обозначают тензоры Вейля для \tilde g и g соответственно.
  • Для конформноэквивалентых метрик \tilde g=e^\psi g
    • Связности связаны следующей формулой:
         \tilde\nabla_XY=\nabla_XY+\frac12((X\psi)Y+(Y\psi)X-g(X,Y)\nabla\psi))
    • Кривизны связаны следующей формулой:
          g(\tilde R(X,Y)Y,X)=g(R(X,Y)Y,X)-
          -\frac12(Hess_\psi (X,X)+Hess_\psi(Y,Y))-\frac14(|\nabla\psi|^2-(Y\psi)^2)
      если g(X,X) = g(Y,Y) = 1,g(X,Y) = 0,Xψ = 0 а Hessψ обозначает Гессиан функции ψ.

Примеры

История

Исследованием конформных отображений занимались Л. Эйлер, Б. Риман, К. Гаусс, А. Пуанкаре, К. Каратеодори, Н. Е. Жуковский, С. А. Чаплыгин.

Применение

Конформное отображение применяется в картографии, электростатике, механике сплошных сред (гидро- и аэромеханика, газовая динамика, теория упругости, теория пластичности и др.).

Литература

Ссылки

 
Начальная страница  » 
А Б В Г Д Е Ж З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Ы Э Ю Я
A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Home