Канторово множество

Ка́нторово мно́жество есть один из простейших фракталов, подмножество единичного отрезка вещественной прямой, которое является классическим примером «плохого множества» в математическом анализе. Описано в 1883 году Г. Кантором.

Содержание

Определения

Классическое построение

Из единичного отрезка C0 = [0,1] удалим среднюю треть, т. е. интервал (1 / 3,2 / 3) Оставшееся точечное множество обозначим через C1. Множество C_1=[0,1/3]\cup[2/3,1] состоит из двух отрезков; удалим теперь из каждого отрезка его среднюю треть, и оставшееся множество обозначим через C2. Повторив эту процедуру опять, удаляя среднюю треть у всех четырёх отрезков, получаем C3. Дальше таким же образом получаем C_4,\ C_5,\ C_6,\cdots. Обозначим через C пересечение всех Ci. Множество C называется Канторовым множеством.

Множества C_0,\ C_1,\ C_2,\ C_3,\ C_4,\ C_5,\ C_6

С помощью троичной записи

Канторово множество может быть также определено как множество чисел от нуля до единицы которые можно представить в троичной записи с помощью только нулей и двоек. При этом следует отметить что число принадлежит Канторовому множеству если у него есть одно такое представление, например 0,1_3\in C так как 0,13 = 0,0(2)3.

Как атрактор

Рассмотрим все последовательности точек {xn} такие что для любого n,

xn + 1 = xn / 3 или xn + 1 − 1 = (xn − 1) / 3.

Тогда множество пределов всех таких последовательностей является Канторовым множеством.

Свойства

См. также

 
Начальная страница  » 
А Б В Г Д Е Ж З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Ы Э Ю Я
A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Home