Число Ферма

Числа Ферма — числа вида F_n=2^{2^n}+1.

F_0=2^{2^0}+1=2^1+1 = 3;
F_1=2^{2^1}+1=2^2+1 = 5;
F_2=2^{2^2}+1=2^4+1 = 17;
F_3=2^{2^3}+1=2^8+1 = 257;
F_4=2^{2^4}+1=2^{16}+1 = 65537;
F_5=2^{2^5}+1=2^{32}+1 = 4294967297 = 641 \cdot 6700417;
F_6=2^{2^6}+1=2^{64}+1 = 18446744073709551617 = 274177 \cdot 67280421310721;
F_7=2^{2^7}+1=2^{128}+1 =340282366920938463463374607431768211457 = 59649589127497217 \cdot 5704689200685129054721;
...

Пьер Ферма выдвинул гипотезу, что все числа этого вида простые, которая была опровергнута Леонардом Эйлером в 1732, он нашёл разложение числа

F_5 = 4294967297 = 641 \cdot 6700417 \;

На данный момент неизвестно ни одного простого числа Ферма больше F4. Известно, что Fn являются составными при 5 \le n \le 32.

Свойства

n=2^r p_1 p_2\dots p_k, где pi — различные простые числа Ферма. См. Теорема Гаусса — Ванцеля.
  • Тест Пепина даёт быстрый алгоритм для проверки простоты чисел Ферма.

Простые числа Ферма

Это простые числа вида 2^{2^n}+1. На данный момент известно только 5 таких чисел: 3;5;17;257;65537. Следует отметить, что простыми среди чисел вида 2n + 1 могут быть только числа Ферма, поскольку если у n есть нечетный делитель m > 1, то

\frac{2^n+1}{2^m+1}=1-2^m+2^{2m}-\cdots+2^{n-m}.

Ссылки

 
Начальная страница  » 
А Б В Г Д Е Ж З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Ы Э Ю Я
A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Home