Разностная схема

Разностная схема — разностный метод приближенного решения какого-либо дифференциального уравнения с частными производными или применения дифференциального оператора. Разностные схемы применяются к функциям заданым на какой-либо сетке.

Разностная схема, как правило, использует уравнения, связывающие несколько соседних точек результата и исходных данных (результата на предыдущих шагах в случае дифференциального уравнения). Решение этих уравнений позволяет найти приближенное решение.

Содержание

Аппроксимация

Для того что бы уравнения были как-то связаны с приближаемым дифференциальным оператором нужно, чтобы уравнения достаточно точно выполнялись на многочленах. Если уравнения выполняются для всех многочленов степени не выше r с точностью до O(hr) (буквой h принятно обозначать шаг сетки), то говорят, что разностная схема имеет r-тый порядок аппроксимации.

Устойчивость

Условия аппроксимации не достаточно для того, чтобы результат разностной схемы приближался к точному ответу при h→0. В случае схем, коэффициенты которых не зависят от решения дифференциального уравнения, нужно выполнение условия устойчивости. Такие схемы можно представить как некоторый линейный оператор, который преобразует значения функции в момент t в значения функции в момент t+h. Условие устойчивости требует, чтобы собственные числа (вообще говоря комплексные) этого оператора не превосходили по модулю 1+ch, где с — некоторая константa, при h→0. Если это условие не выполнено, но погрешности схемы быстро возрастают и результат тем хуже, чем меньше шаг. Если выполнены как условие аппроксимации, так и условие устойчивости, то результат разностной схемы стремится к решению дифференциального уравнения.

Условие Куранта

Условие Куранта — скорость распространения возмущений в разностной задаче не должна быть меньше, чем в дифференциальной. Если это условие не выполнено, то результат разностоной схемы может не стремится к решению дифференциального уравнения. В случае схем, коэффициенты которых не зависят от решения дифференциального уравнения, условие Куранта следует из устойчивости.

Для гиперболических систем уравнений это условие часто имеет вид

\tau \le \min(\frac{h}{|\lambda|_{max}})

(τ - шаг по времени. h - шаг пространственной сетки. | λ | max - максимальное по модулю собственное значение в точке. Минимум берется по всем точкам сетки.)

Классификация схем

Явные схемы

Явные схемы вычисляют значение результата через несколько соседних точек данных. Пример явной схемы для дифференцирования: f'(x)=\frac{f(x+h)-f(x-h)}{2h} (2-й порядок аппроксимации). Явные схемы часто оказываются неустойчивыми.

Согласно Теореме Годунова среди линейных разностных схем для уравнения переноса с порядком аппроксимации выше первого нет устойчивых. Таким образом, все устойчивые схемы высокого порядка аппроксимации являются нелинейными (несмотря на линейность исходного уравнения).

Неявные схемы

Неявные схемы используют уравнения, которые выражают данные через несколько соседних точек результата. Для нахождения результата решается система линейных уравнений. Пример неявной схемы для уравнения струны: f(x,t + h) − 2f(x,t) + f(x,th) = f(x + h,t + h) − 2f(x,t + h) + f(xh,t + h). Неявные схемы обычно являются устойчивыми.

Полунеявные схемы

На одних шагах применяется явная схема, на других — неявная (как правило, эти шаги чередуются).

Компактные схемы

Компактные схемы используют уравнения, которые связывают значения результата в нескольких соседних точках с значениями данных в нескольких соседних точках. Это позволяет повысить порядок аппроксимации. Пример компактой схемы для дифференцирования: \frac{1}{6}f'(x-h)+\frac{2}{3}f'(x)+\frac{1}{6}f'(x+h)=\frac{f(x+h)-f(x-h)}{2h} (4-тый порядок аппроксимации).

Схемы на смещенных сетках

В этих схемах сетки на которых задан результат и данные смещены относительно друг-друга. Например, точки результата находятся по середине между точками данных. В некоторых случаях это позволяет использовать более простые граничные условия.


Ссылки

Глава в wikibooks на тему "Разностные схемы для гиперболических уравнений"

 
Начальная страница  » 
А Б В Г Д Е Ж З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Ы Э Ю Я
A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Home