Теорема Вейерштрасса о функции, непрерывной на компакте

Теоре́ма Вейерштра́сса гласит, что

Функция, непрерывная на компакте, ограничена на нём и достигает своей верхней и нижней грани

Доказательство для Rn

Пусть f(x) — функция, отвечающая условиям теоремы (на компакте A), M = \sup_A f. Возьмём последовательность чисел am таких, что \lim a_m = M и am < M. Для каждого m найдётся точка xm, такая что am < f(xm). Имеем дело с компактом, поэтому, согласно теореме Больцано—Вейерштрасса из последовательности xm можно выделить сходящуюся последовательность (x_{m_k}), предел которой лежит в A.

Для любого xm справедливо a_m < f(x_{m_k}) < M, поэтому, применяя предельный переход, получаем lim f(x_{m_k}) = M и в силу непрерывности функции существует точка x0 такая, что lim f(x_{m_k}) = f(x_0) и, следовательно M = f(x0).

Таким образом функция f(x) ограничена и достигает своей верхней грани при x = x0. Аналогично и для нижней грани.

 
Начальная страница  » 
А Б В Г Д Е Ж З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Ы Э Ю Я
A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Home