Вероятностное пространство

Вероя́тностное простра́нство — понятие, введённое А. Н. Колмогоровым в 30-х годах XX века для формализации понятия вероятности, которое дало начало бурному развитию теории вероятностей как строгой математической дисциплине.

Определение

Вероятностное пространство — это тройка (\Omega,\mathcal{F},\mathbb{P}), где

Конечные вероятностные пространства

Простым и часто используемым примером вероятностного пространства является конечное пространство. Пусть \Omega \ суть конечное множество, содержащее \vert \Omega \vert = n элементов. В качестве сигма-алгебры удобно взять семейство всех подмножеств \Omega \. Его часто символически обозначают 2^{\Omega} \. Легко показать, что общее число членов этого семейства, т.е. число различных случайных событий, как раз равно 2^{\vert \Omega \vert}, что объясняет обозначение. Вероятность, вообще говоря, можно определять произвольно. Часто, однако, нет причин считать, что один элементарный исход чем-либо предпочтительнее другого. Тогда естественным способом ввести вероятность является:

\mathbb{P}(A) = \frac{n_A}{n},

где A\subset \Omega, и \vert A \vert = n_A - число элементарных исходов, принадлежащих A \. В частности вероятность любого элементарного события:

\mathbb{P}(\{\omega\}) = \frac{1}{n},\; \forall \omega \in \Omega.

Пример

Рассмотрим эксперимент с бросанием уравновешенной монеты. Тогда естественным способом задать вероятностное пространство будет взять \Omega=\{0,1\}, \mathcal{F} = \{\{0\},\{1\},\{0,1\},\emptyset\} и определить вероятность следующим образом:

\mathbb{P}(\{0\}) = \frac{1}{2},\; \mathbb{P}(\{1\}) = \frac{1}{2},\; \mathbb{P}(\{0,1\}) = 1,\; \mathbb{P}(\emptyset) = 0.
 
Начальная страница  » 
А Б В Г Д Е Ж З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Ы Э Ю Я
A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Home