Преобразование Бокса — Мюллера

Преобразование Бокса — Мюллера — метод моделирования стандартных нормально распределённых случайных величин. Имеет два варианта. Метод является точным, в отличие, например, от методов основывающихся на центральной предельной теореме.

Метод был опубликован в 1958 году Джорджем Боксом и Мервином Мюллером.

Первый вариант

Пусть r и φ — независимые случайные величины, равномерно распределённые на интервале (0, 1]. Вычислим z0 и z1 по формулам

z_0 = \cos (2 \pi \phi) \sqrt {-2 \ln r},
z_1 = \sin (2 \pi \phi) \sqrt {-2 \ln r}.

Тогда z0 и z1 будут независимы и распределены нормально с математическим ожиданием 0 и дисперсией 1. При реализации на компьютере обычно быстрее не вычислять обе тригонометрические функции — \cos (\cdot) и \sin (\cdot) — а рассчитать одну из них через другую. Ещё лучше воспользоваться вместо этого вторым вариантом преобразования Бокса — Мюллера.

Второй вариант

Пусть x и y — независимые случайные величины, равномерно распределённые на отрезке [−1, 1]. Вычислим R = x2 + y2. Если окажется, что R > 1 или R = 0, то значения x и y следует «выбросить» и сгенерировать заново. Как только выполнится условие 0 < R \le 1, по формулам

z_0 = x \cdot \sqrt {-2 \ln R \over R}

и

z_1 = y \cdot \sqrt {-2 \ln R \over R}

следует рассчитать z0 и z1, которые, как и в первом случае, будут независимыми величинами, удовлетворяющими стандартному нормальному распределению.

Коэффициент использования базовых случайных величин для первого варианта, очевидно, равен единице. Для второго варианта это отношение площади окружности единичного радиуса к площади квадрата со стороной два, т. е. \pi / 4 \approx 0,785. Тем не менее, на практике второй вариант обычно оказывается быстрее, за счёт того, что в нём используется только одна трансцендентная функция, \ln (\cdot). Это преимущество для большинства реализаций перевешивает необходимость генерации большего числа равномерно распределённых случайных величин.

Переход к общему нормальному распределению

После получения стандартной нормальной случайной величины z, можно легко перейти к величине \xi \sim N (\mu, \sigma^2) распределённой нормально с математическим ожиданием μ и стандартным отклонением σ по формуле

ξ = μ + σz.

Это уже не является частью преобразования Бокса — Мюллера, но позволяет завершить генерацию нормальной случайной величины.

 
Начальная страница  » 
А Б В Г Д Е Ж З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Ы Э Ю Я
A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Home