Теория операторов

Теория операторов — раздел функционального анализа, который изучает свойства непрерывных линейных отображений между нормированными пространствами. Вообще говоря, оператор — это аналог самой обычной функции или матрицы в конечномерном пространстве. Но оператор может действовать и в бесконечномерных пространствах.

Отображение T из векторного пространства X в векторное пространствo Y называется линейным оператором если Tx + βy) = αT(x) + βT(y) для любых x и y в X и любых скаляров α и β. Часто пишут Tx вместо T(x). Линейный оператор из нормированного пространства X в нормированное пространство Y называется ограниченным если найдется положительное вещественное число M такое что \lVert Tx\rVert\le M\lVert x\rVert для всех x в X. Наименьшая константа M удовлетворяющая такому условию называется нормой оператора T и обозначается \lVert T\rVert. Нетрудно видеть что линейный оператор между нормированными пространствами ограничен тогда и только тогда когда он непрерывен. Под термином «оператор» в функциональном анализе обычно понимают ограниченный линейный оператор.

Множество всех (ограниченных линейных) операторов из из нормированного пространства X в нормированное пространство Y обозначается L(X,Y). В случае когда X = Y пишут L(X) вместо L(X,X). Если HГильбертово пространство, то обычно пишут B(H) вместо L(H). На L(X,Y) можно ввести структуту векторного пространства через (T + S)x = Tx + Sx и Tx) = α(Tx), где T,S\in L(X,Y), x,y\in X, а α — произвольный скаляр. С введенной выше операторной нормой, L(X,Y) превращается в нормированное пространство. В частности, \lVert S+T\rVert\le\lVert S\rVert+\lVert T\rVert и \lVert\alpha T\rVert=\left|\alpha\right|\cdot\lVert T\rVert для любых T,S\in L(X,Y) и произвольного скаляра α. Пространство L(X,Y) является Банаховым тогда и только тогда когда YБанахово.

Пусть X,Y и Z — нормированные пространства, S\in L(X,Y) и T\in L(Y,Z). Композиция S и T обозначается TS и называется «произведением» операторов S и T. Заметим что TS\in L(X,Z) и \lVert TS\rVert\le\lVert T\rVert\cdot\lVert S\rVert. Если XБанахово пространство, то L(X) с введенным выше умножением является Банаховой алгеброй.

В «теории операторов» можно выделить несколько основных разделов:

  1. Спектральная теория изучает спектр оператора.
  2. Классы операторов. В часности, компактные операторы, Фредгольмовы операторы, изоморфизмы, изометрии, строго сингулярные операторы и т. п. Изучают также неограниченные операторы и частично определенные операторы, в частности замкнутые операторы.
  3. Операторы на специальных нормированных пространствах.
  4. Совокупности операторов (то есть, подмножества L(X)): операторные алгебры, операторные полугруппы, и др.
  5. Теория инвариантных подпространств.


 
Начальная страница  » 
А Б В Г Д Е Ж З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Ы Э Ю Я
A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Home