Предел функции

Преде́л функции — одно из основных понятий математического анализа. Функция f(x) имеет предел A в точке x0 если для всех значений x, достаточно близких к x0, значение f(x) близко к A.

Понятие предела позволяет в определённых ситуациях работать с «бесконечно большими» и «бесконечно малыми» величинами, например наделить смыслом такие неопределённые выражения, напимер 0 / 0 (см. правило Лопиталя).

Содержание

Определение

Пределом функции f(x) при стремлении x к a называется такое число A, что для любого положительного числа ε найдётся положительное число δ такое, что для любых x из проколотой δ-окрестности a значение функции в этой точке f(x) будет находиться в ε-окрестности A:

\forall \varepsilon > 0 \exists \delta > 0 \forall x (0 < |x - a| < \delta \Rightarrow |f(x) - A| < \varepsilon)

Данное определение называют также "ε-δ-определением" или определением предела по Коши. Это определение можно записать ещё в одной формулировке (через окрестности):

\forall \varepsilon>0 \exists \delta>0 \forall x \in \dot{\mathcal{U}_{\delta}}(a)(f(x) \in\mathcal{U}_{\varepsilon}(A)), если через \mathcal{U}_{\delta}(a) обозначить δ-окрестность точки a.

Существует другая формулировка определения предела - по Гейне. Звучит она следующим образом: если при схождении любой произвольно взятой последовательности xk к точке a (причём так, чтобы xi не равнялось a) соответствующие последовательности f(xk) сходятся к одной и той же точке A, то она называется пределом функции в точке a. Определения по Коши и по Гейне, очевидно, эквивалентны. Действительно, пусть A есть предел f(x) в точке a по Коши. Возьмём произвольную последовательность xk, сходящуюся к точке a; это означает, что если дано произвольное число δ, то, начиная с некоторого k=N, все её члены лежат в δ-окрестности точки a. Но тогда все f(xk>N) лежат, по определению предела, в ε-окрестности A, а значит, f(xk) сходится к A. Обратно: если A не является пределом f(x) в точке a, то, по Коши, это означает, что

\exists \varepsilon>0 \forall \delta > 0 \exists x \in \dot{\mathcal{U}_{\delta}}(a)(|f(x)-A|>\varepsilon).

Возьмём сперва δ=1, затем 1/2, 1/3 и так далее; для каждого из них выберем x такой, чтобы выполнялось выписанное условие; очевидно, что при таком раскладе xk сходится к a, а f(xk) не сходится к A.

Предел обозначают следующим образом:

A = \lim_{x \to a}f(x)

(lim от лат. limes или англ. limit — предел).

Свойства пределов

Все нижеперечисленные арифметические свойства пределов очевидным образом вытекают из аналогичных свойств пределов последовательностей, если рассматривать определение по Гейне.

При условии, что пределы \lim_{x \to a}f(x) и \lim_{x \to a}g(x) существуют и конечны

  • \lim_{x \to a}f(x) + \lim_{x \to a}g(x) = \lim_{x \to a}{\left( f(x)+g(x) \right)}
  • \lim_{x \to a}f(x) \cdot \lim_{x \to a}g(x) = \lim_{x \to a}{\left( f(x) \cdot g(x) \right)}
  • {{\lim_{x \to a}f(x)} \over {\lim_{x \to a}g(x)}} = \lim_{x \to a}{f(x) \over g(x)}, если \lim_{x \to a}g(x)\neq 0
  • если \lim_{x \to a}{f(x) \over g(x)} = 1, то \lim_{x \to a}f(x) = \lim_{x \to a}g(x) (f и g называются предельно эквивалентными при стремлении x к a)
  • замена переменной: пусть даны взаимообратные функции φ(x) и ψ(x). Тогда \lim_{x \to a}f(x) = \lim_{t \to \phi(a)}f(\psi(t)). В частности, \lim_{x \to 0}f(x) = \lim_{t \to \infty}f\left(\frac{1}{t}\right); \lim_{x \to \infty}f(x) = \lim_{t \to 0}f\left(\frac{1}{t}\right)

Замечательные пределы

  1. \lim_{x \to 0}{{\sin x} \over x} = 1. Доказывается из геометрических соображений на тригонометрической окружности.
  2. \lim_{x \to 0}{{\left( 1 + x \right)}^\frac{1}{x}} = e (Смотри статью про число e; доказательство следует из определения числа e.)

Обобщения

Односторонний предел

Односторонний предел — предел функции в некоторой точке справа или слева. Пусть f — функция заданная на подмножестве X вещественной прямой и x_0\in X. Предел сужения f на пересечение X\cap(a, x_0) называется пределом слева f и обозначают

\lim_{x\to x_0-} f(x)

(он не зависит от выбора a < x), а предел по интервалу (x0,b) называют пределом справа и обозначают

\lim_{x\to x_0+} f(x)

(он не зависит от выбора b > x0). Если точка x0 является предельной как слева, так и справа для множества определения функции f, то обычный предел

\lim_{x\to x_0}f(x)

по проколотой окрестности точки x0 (в этом случае его называют также двусторонним, в отличие от односторонних пределов) существует тогда и только тогда, когда в точке x0 существуют пределы слева и справа и они равны между собой.

См. также

 
Начальная страница  » 
А Б В Г Д Е Ж З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Ы Э Ю Я
A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Home