Свёртка (математический анализ)

Свёртка фу́нкций в функциональном анализе - это операция, показывающая "схожесть" одной функции и отражённой и сдвинутой копией другой. Понятие свёртки обобщается для функций, определённых на группах, а также мер.

Содержание

Свёртка функций

Пусть f,g:\mathbb{R} \to \mathbb{R} - две функции вещественной переменной, интегрируемые относительно меры Лебега. Тогда их свёрткой называется функция

f * g (t) = \int\limits_{\mathbb R} f(\tau) g(t - \tau)\, d\tau.

Свойства

f * g = g * f.
f * (g * h) = (f * g) * h.
f * (g + h) = (f * g) + (f * h);
  • Ассоциативность умножения на скаляр:
a (f * g) = (a f) * g = f * (a g), \quad \forall a \in \mathbb{R}.
  • Правило дифференцирования:
D(f * g) = Df * g = f * Dg,

где Df обозначает производную функции f.

  • Свойство Фурье-образа:
\mathcal{F}[f * g] = \mathcal{F} [f] \cdot \mathcal{F} [g],

где \mathcal{F}[f] обозначает преобразование Фурье функции f.

Свёртка на группах

Пусть G - группа Ли, оснащённая мерой Хаара m, и f,g:G \to \mathbb{R} - две функции, определённые на G. Тогда их свёрткой называется функция

f * g(x) = \int\limits_G f(y)\,g\left(xy^{-1}\right)\,m(dy),\quad \forall x \in G.

Свёртка мер

Пусть есть борелевское пространство (\mathbb{R},\mathcal{B}(\mathbb{R})) и две меры \mu,\nu: \mathcal{B}(\mathbb{R}) \to \mathbb{R}. Тогда их свёрткой называется мера

\mu * \nu (A) = \mu \otimes \nu \left(\{(x,y)\in \mathbb{R}^2 \mid x+y \in A \}\right),\quad \forall A \in \mathcal{B}(\mathbb{R}),

где \mu \otimes \nu обозначает произведение мер μ и ν.

Cвойства

f_{\mu} = \frac{d\mu}{dm},\quad f_{\nu} = \frac{d\nu}{dm}.

Тогда μ * ν также абсолютно непрерывна относительно m, и её производная Радона — Никодима f_{\mu * \nu} = \frac{d \mu * \nu}{dm} имеет вид

fμ * ν = fμ * fν.

Свёртка распределений

Если \mathbb{P}^X,\mathbb{P}^Y - распределения двух независимых случайных величин X и Y, то

\mathbb{P}^{X+Y} = \mathbb{P}^X * \mathbb{P}^Y,

где \mathbb{P}^{X+Y} - распределение суммы X + Y. В частности, если X,Y абсолютно непрерывны и имеют плотности fX,fY, то случайная величина X + Y также абсолютно непрерывна и её плотность имеет вид:

fX + Y = fX * fY.
 
Начальная страница  » 
А Б В Г Д Е Ж З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Ы Э Ю Я
A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Home