Действие группы

Говорят, что группа G действует на множестве M, если задан гомоморфизм \Phi:G\to S(M) из группы G в группу S(M) всех перестановок множества M. Для краткости (Φ(g))(m) часто записывают как gm.

Другими словами, группа G действует на множестве M, если задано отображение G\times M\to M (обозначаемое (g,m)\mapsto gm), такoe что

  1. (gh)m = g(hm) для всех g,h\in G, m\in M и
  2. em = m, где e есть единица G.

Содержание

Типы действий

  • Свободное, если для любых различных g, h\in G и любого m\in M выполняется gm \ne hm.
  • Транзитивное если для любых m,n\in M существует g\in G такой, что gm = n. Другими словами, действие транзитивно, если Gm = M для любого элемента m\in M.
  • Эффективное, если для любых g, h\in G существует m\in M такой, что gm = hm.

Орбиты

Подмножество

G m = \{ gm\mid g\in G \}\subset M

называется орбитой элемента m\in M.

Действие группы G на множестве M определяет на нём отношение эквивалентности

\forall n, m\in M\qquad \left(n\sim_G m\right)\quad \Longleftrightarrow\quad \left(\exists g\in G\ \ gn=m\right)\quad\Longleftrightarrow\quad \left(Gn=Gm\right).

При этом классами эквивалентности являются орбиты элементов. Поэтому, если общее число классов эквивалентности равно k, то

M = Gm_1 \sqcup Gm_2 \sqcup \dots \sqcup Gm_k,

где m_1, m_2, \dots, m_k\in M попарно неэквивалентны. Для транзитивного действия k = 1.

Стабилизаторы

Подмножество

G_m = \{ g\in G\mid gm=m \}\subset G

является подгруппой группы G и называется стабилизатором или стационарной подгруппой элемента m\in M.

Стабилизаторы элементов одной орбиты сопряжены, то есть если n\sim_G m, то найдется такой элемент g\in G, что

G_m=g\, G_n\, g^{-1}.

Количество элементов в орбите

| Gm | = [G:Gm], где [G:Gm]индекс подгруппы G_m\subset G, в случае конечных групп равен \frac{|G|}{|G_m|}.

Если M = Gm_1 \sqcup Gm_2 \sqcup \dots \sqcup Gm_k, то

|M| = \sum_{t=1}^k [G:G_{m_t}]формула разложения на орбиты.

Эта формула также влечёт следующие тождества

\forall m\in M\quad \sum_{n\in Gm} |G_n| = |G|
\sum_{m\in M} |G_m| = k |G|

и лемму Бернсайда.


Примеры действий

Действия на себе

Слева

Действие на себе слева является наиболее простым примером действия, в этом случае, M = G и гомоморфизм \Phi:G\to S(G) задан как (Φ(g))(h) = gh.

Справа

Аналогично определяется действие на себе справа, (Φ(g))(h) = hg - 1.

Сопряжениями

Пусть M = G и гомоморфизм \Phi:G\to S(G) задан как (Φ(g))(h) = ghg - 1. При этом для каждого элемента h\in G стабилизатор Gh совпадает с централизатором C(h):

G_h = \{ g\in G\mid ghg^{-1}=h\} = \{ g\in G\mid gh=hg\} = C(h).

Например, для элемента h из центра группы G (т.е. h\in Z(G)) C(m) = G), Gh = G.

Слева и справа

Все эти два действия являются действиями подгрупп действия G\times G на M = G с гомоморфизмом \Phi:G\times G\to S(G) заданым как (\Phi(g_1,g_2))(h)=g_1 h g_2^{-1}.

 
Начальная страница  » 
А Б В Г Д Е Ж З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Ы Э Ю Я
A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Home