Метод вариации произвольных постоянных для построения решений системы линейных дифференциальных уравнений

Метод вариации произвольных постоянных для построения решений системы линейных дифференциальных уравнений в векторной нормальной форме

\frac{d \bar{x}}{dt} = A(t)\bar{x} + \bar{f}(t), t\in I\qquad(1)

состоит в построении частного решения (1) в виде

\bar{x} = \bar{x^*}(t) = Z(t)\bar{u}(t)

где Z(t) — базис решений соответствующего однородного уравнения, записанный в виде матрицы, а векторная функция \bar{u}, заменившая вектор произвольных постоянных, определена соотношением \bar{u'}(t) = Z^{-1}(t)\bar{f}(t). Искомое частное решение (с нулевыми начальными значениями при t = t0 имеет вид

\bar{x} = \bar{x^*}(t) = \int_{t_0}^{t} Z(t)Z^{-1}(\tau)\bar{\tau}, d\tau

Для системы с посточнными коэффициентами последнее выражение упрощается:

\bar{x} = \bar{x^*}(t) = \int_{t_0}^{t} Z(t - \tau) \bar{\tau}, d\tau

Матрица Z(t)Z − 1(τ) называется матрицей Коши оператора L = A(t).


См. также

 
Начальная страница  » 
А Б В Г Д Е Ж З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Ы Э Ю Я
A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Home